“設(shè)而不求”的未知數(shù)
“設(shè)而不求”的未知數(shù)
讓我們先看一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題.
三角形的面積.
解 設(shè)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)度為c,因?yàn)樾边吷系闹芯€長(zhǎng)是1,所以斜邊長(zhǎng)c=2.再設(shè)兩條直角邊的長(zhǎng)度是a,b,面積是S,那么
把②,③代入④式得
在這個(gè)題目中,只要求出未知數(shù)S的值,而我們卻設(shè)了三個(gè)未知數(shù):a,b,S,并且在解題過(guò)程中,我們也根本沒(méi)求a,b的值.但是由于增設(shè)了a,b后,給我們利用等量關(guān)系列方程及方程組求S的值,帶來(lái)了很大的便利,像這種未知數(shù)(如a,b)就是本講所要介紹的“設(shè)而不求”的未知數(shù).
所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù),又叫輔助元素,它是我們?yōu)榻鉀Q問(wèn)題增設(shè)的一些參數(shù),它能起到溝通數(shù)量關(guān)系,架起連接已知量和未知量的橋梁作用.
例2若
求x+y+z的值.
分析 已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時(shí),往往引進(jìn)一個(gè)比例參數(shù)來(lái)表示這個(gè)連比.
解 令
則有
所以
所以 x+y+Z=0.
說(shuō)明 本例中所設(shè)的k,就是“設(shè)而不求”的未知數(shù).
例3 已知p,q,r都是5的倍數(shù),r>q>p,且r=p+10,試求
解 不妨設(shè)p=5k1,q=5k2,r=5k3,由題意可知,k1,k2,k3都是整數(shù).因?yàn)?/font>r>q>p,所以k3>k2>k1.又因?yàn)?/font>
所以 5k3=5k1+10,
所以 k1+2>k2>k1,
所以 k2=k1+1. ②
將①,②代入所求的代數(shù)式得
說(shuō)明 本題中k1,k2,k3均是“設(shè)而不求”的未知數(shù).
a>1,并且設(shè)
分子:n-13=ak1,①
分母:5n+6=ak2.②
其中k1,k2為自然數(shù).
由①得n=13+ak1,將之代入②得
即 71+5ak1=ak2,
所以 a(k2-5k1)=71.
由于71是質(zhì)數(shù),且a>1,所以a=71,所以
故n最小為84.
例5甲、乙、丙、丁四人,每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29,23,21和17,這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少?
解 設(shè)四個(gè)人的年齡分別記為a,b,c,d,根據(jù)題意有
由上述四式可知
比較⑤,⑥,⑦,⑧知,d最大,c最小,所以⑤-⑧得
說(shuō)明 此題不必求出a,b,c,d的值,只須比較一下,找出最大者與最小者是誰(shuí),作差即可求解.
例6 設(shè)有n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,它們的值只能是0,1,2三個(gè)數(shù)中的一個(gè),如果記
試用f1和f2表示
解 設(shè)在x1,x2,…,xn這幾個(gè)數(shù)中取值為0的有s個(gè),取值為1的有t個(gè),取值為2的有r個(gè),則s+t+r=n,0≤t≤n,0≤s≤n,0≤r≤n,由此得
所以
說(shuō)明 本題借助于s,t,r找到了fk與f1,f2的關(guān)系表達(dá)式.
整除.根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9整除的特征有
即 α+β+3=9m1(m1為自然數(shù)).
又由于 0≤α≤9,0≤β≤9,則有
從而有
同理,按照一個(gè)數(shù)被11整除的特征有
①與②相結(jié)合,并考慮0≤α≤9,0≤β≤9,故只有α=2,β=4.
所以原自然數(shù)為 6 224 427.
例8 我手中的卡片上寫有一個(gè)三位數(shù),并且個(gè)位數(shù)不為零,現(xiàn)將個(gè)位與百位數(shù)字對(duì)調(diào),取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù)),將所得差的三位數(shù)與此差的個(gè)位、百位數(shù)字對(duì)調(diào)后的三位數(shù)相加,最后的和是多少?
=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)
=99×a-99×c
=100×a-100×c-100+90+10-a+c
=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c).
因k是三位數(shù),所以
所以 2≤10-a+c≤8.
差對(duì)調(diào)后為
所以
故 所求為1089.
說(shuō)明 本例中a,b,c作為參數(shù)被引進(jìn),但運(yùn)算最終又被消去了,而無(wú)須求出它們的值.這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子.
在列方程解應(yīng)用題中,更是經(jīng)常用到增設(shè)參數(shù)的方法,下面再舉幾個(gè)例題.
例9 從兩個(gè)重量分別為12千克(kg)和8千克,且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊,把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起,熔煉后兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等.求所切下的合金的重量是多少千克?
分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分?jǐn)?shù),因此只有增設(shè)這兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分?jǐn)?shù)有關(guān)的其他量為參數(shù),才能充分利用已知,為列方程創(chuàng)造條件 .
解法1 設(shè)所切下的合金的重量為x千克,重12千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為p,重8千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為q(p≠q),于是有
整理得 5(q-p)x=24(q-p).
因?yàn)?/font>p≠q,所以q-p≠0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.
解法2 設(shè)從重12千克的合金上切下的x千克中含銅m千克,從重8千克的合金上切下的x千克中含銅n千克(m≠n),則這兩個(gè)合金含
整理得 5x(n-m)=24(n-m).
因?yàn)?/font>m≠n,所以n-m≠0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.
說(shuō)明 在解含參數(shù)的方程時(shí),一般情況下可以把參數(shù)消去,轉(zhuǎn)化成只含有待求未知數(shù)的一般方程,也就是說(shuō)應(yīng)用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無(wú)關(guān).
例10 某隊(duì)伍長(zhǎng)1998米(m),在行進(jìn)中排尾的一個(gè)戰(zhàn)士因事趕到排頭,然后立即返回,當(dāng)這個(gè)戰(zhàn)士回到排尾時(shí),全隊(duì)已前進(jìn)1998米,如果隊(duì)伍和這個(gè)戰(zhàn)士行進(jìn)的速度都不改變,求這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程.
解法1 設(shè)這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程為s米,所需要的時(shí)間為t小時(shí)(h),
消去參數(shù)t得
解之得
解法2 設(shè)這個(gè)戰(zhàn)士的行進(jìn)速度為V1米/小時(shí),隊(duì)伍行進(jìn)的速度為
因此
所以這個(gè)戰(zhàn)士所走距離為
說(shuō)明 在同一個(gè)問(wèn)題中,由于考慮問(wèn)題的角度不同,所以增設(shè)的參數(shù)也會(huì)有所不同(如上例中的兩種解法).
字),又N是4的倍數(shù),且N被11除余5,那么x+y等于多少?
4.五個(gè)人要完成某項(xiàng)工作,如果甲、乙、丙三人同時(shí)工作需6小時(shí);
時(shí);乙、丙、戊同時(shí)工作,需用5小時(shí),問(wèn)五個(gè)人同時(shí)工作需用多少小時(shí)完成?
5.公共汽車每隔x分鐘(min)發(fā)車一次,小紅在大街上行走,發(fā)
輛公共汽車,如果公共汽車與小紅行進(jìn)的速度都是勻速的,則x為多少